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《游戏引擎架构》笔记4：游戏所需的三维数学

本文是阅读《游戏引擎架构》第四章"游戏所需的三维数学”进行的归纳和总结，部分内容经过了AI的扩展。

  1. 点和矢量
  • 坐标系和基矢
  • 矢量运算：标量乘法、加法、减法、模、点乘、叉乘、插值。
  1. 矩阵
  • 矩阵运算：乘法、逆、转置
  1. 齐次变换
  • 齐次坐标
  • 基础变换矩阵：平移、旋转、缩放。
  • 坐标空间：模型空间、世界空间、观察空间。
  1. 变换坐标系和变换矢量问题（齐次坐标为列向量，和书不同）
  • 变换坐标系：不同坐标系同一点换参考系（点不动）：坐标系A→坐标系B

Bp=ABTAp=[ABiABjABkABt0001]Ap\begin{aligned} {}^B\mathbf{p}&={}^B_A\mathbf{T}{}^A\mathbf{p} \\ &=\begin{bmatrix} {}_A^B\mathbf{i} & {}_A^B\mathbf{j} & {}_A^B\mathbf{k} & {}_A^B\mathbf{t} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}{}^A\mathbf{p} \end{aligned}

其中，ABi{}_A^B\mathbf{i} 是坐标系A的x轴基矢在坐标系B中的表示，ABj{}_A^B\mathbf{j} 是坐标系A的y轴基矢在坐标系B中的表示，ABk{}_A^B\mathbf{k} 是坐标系A的z轴基矢在坐标系B中的表示，ABt{}_A^B\mathbf{t} 是坐标系A的原点在坐标系B中的表示（平移）。

  • 变换矢量：同一个坐标系点A变换到点B，等价于固定点然后把点A的坐标系逆变换到点B的坐标系。对法矢量则不同，需要乘以逆转置矩阵。

  1. 如何确定使用的引擎是使用行矢量还是列矢量，找变换矩阵中的平移向量是在第4行第1列（行矢量）还是第1行第4列（列矢量）。

  2. 四元数：q=[qVqS]=[asin⁡θ2cos⁡θ2]\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_V & q_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}，其中，a\mathbf{a} 是旋转轴，θ\theta 是旋转角度。

  • 四元数之积：

q1q2=[pSqV+qSpV+pV×qVpSqS−pVqV]\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 = \begin{bmatrix} p_S\mathbf{q}_V+ q_S\mathbf{p}_V + \mathbf{p}_V\times \mathbf{q}_V & p_Sq_S-\mathbf{p}_V\mathbf{q}_V \end{bmatrix}

  • 共轭四元数：

q∗=[−qVqS]\mathbf{q}^* = \begin{bmatrix} -\mathbf{q}_V & q_S \end{bmatrix}

  • 逆四元数：

q−1=q∗∣q∣2\mathbf{q}^{-1} = \frac{\mathbf{q}^*}{|\mathbf{q}|^2}

如果是单位四元数，那么

q−1=q∗\mathbf{q}^{-1} = {\mathbf{q}^*}

  • 积的共轭及逆四元数：

(pq)∗=q∗p∗(\mathbf{p}\mathbf{q})^* = \mathbf{q}^*\mathbf{p}^*

(pq)−1=q−1p−1(\mathbf{p}\mathbf{q})^{-1} = \mathbf{q}^{-1}\mathbf{p}^{-1}

  • 四元数旋转矢量：

v′=rotate(q,v)=qvq−1\mathbf{v}^\prime=\text{rotate}(\mathbf{q}, \mathbf{v})=\mathbf{q}\mathbf{v}\mathbf{q}^{-1}

如果是单元四元数，那么等价于：

v′=rotate(q,v)=qvq∗\mathbf{v}^\prime=\text{rotate}(\mathbf{q}, \mathbf{v})=\mathbf{q}\mathbf{v}\mathbf{q}^{*}

  • 四元数变换旋转矩阵，若四元数q=[qVqS]=[xyzw]\mathbf{q}=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_V & q_S \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x & y & z & w \end{bmatrix}，则对应的旋转矩阵为：

R=[1−2y2−2z22xy−2zw2xz+2yw2xy+2zw1−2x2−2z22yz−2xw2xz−2yw2yz+2xw1−2x2−2y2]\mathbf{R}=\begin{bmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2zw & 2xz+2yw \\ 2xy+2zw & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2xw \\ 2xz-2yw & 2yz+2xw & 1-2x^2-2y^2 \end{bmatrix}

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void MatrixToQuaterion(
    const float R[3][3],
    float q[/*4*/]
)
{
    float trace = R[0][0] + R[1][1] + R[2][2];
    // 检测主轴
    if (trace >= 0.0f)
    {
        float s = sqrt(trace + 1.0f);
        q[3] = s * 0.5f;
        float t = 0.5f / s;
        q[0] = (R[2][1] - R[1][2]) * t;
        q[1] = (R[0][2] - R[2][0]) * t;
        q[2] = (R[1][0] - R[0][1]) * t;
    }
    else
    {
        int i = 0;
        if (R[1][1] > R[0][0]) i = 1;
        if (R[2][2] > R[i][i]) i = 2;
        const int j = (i + 1) % 3;
        const int k = (i + 2) % 3;
        float s = sqrt(R[i][i] - R[j][j] - R[k][k] + 1.0f);
        q[i] = s * 0.5f;
        float t = 0.5f / s;
        q[j] = (R[j][i] + R[i][j]) * t;
        q[k] = (R[k][i] + R[i][k]) * t;
        q[3] = (R[k][j] - R[j][k]) * t;
    }
}

  • 四元数插值：

    • 线性插值，插值需要归一化，因为不保持矢量长度，旋转动画在两端慢，在中间会快：

    qLERP=LERP(qA,qB,t)=(1−t)qA+tqB∣(1−t)qA+tqB∣\mathbf{q}_{\text{LERP}}=\text{LERP}(\mathbf{q}_A, \mathbf{q}_B, t)=\frac{(1-t)\mathbf{q}_A+t\mathbf{q}_B}{|(1-t)\mathbf{q}_A+t\mathbf{q}_B|}

    • 球面线性插值，动画旋转匀速，但是计算代价昂贵，最好测试一下实现的效率，看是否值得使用：

qSLERP=SLERP(qA,qB,t)=wpqA+wqqB\mathbf{q}_{\text{SLERP}}=\text{SLERP}(\mathbf{q}_A, \mathbf{q}_B, t)=w_p\mathbf{q}_A+w_q\mathbf{q}_B

其中：

wp=sin⁡(1−t)θsin⁡θ,wq=sin⁡tθsin⁡θw_p=\frac{\sin(1-t)\theta}{\sin\theta},w_q=\frac{\sin t\theta}{\sin\theta}

θ\theta的计算为：

cos⁡θ=qA⋅qB=qAxqBx+qAyqBy+qAzqBz+qAwqBwθ=cos⁡−1(qA⋅qB)\cos\theta=\mathbf{q}_A\cdot\mathbf{q}_B=q_{Ax}q_{Bx}+q_{Ay}q_{By}+q_{Az}q_{Bz}+q_{Aw}q_{Bw}\\ \theta=\cos^{-1}(\mathbf{q}_A\cdot\mathbf{q}_B)

  1. 各种旋转表达方式对比
  • 欧拉角：简单直观，单轴旋转容易插值，问题在于万向节死锁（旋转后和原来的轴重合失效），轴的旋转次序对结果有影响。
  • 旋转矩阵：独一无二地表示旋转，不直观，不容易插值，需要更多的存储空间。
  • 轴角：直观，不能简单插值，旋转不能直接施加在点或矢量，需要先转换为旋转矩阵或四元数。
  • 四元数：能串接旋转，把旋转直接施加在点和矢量，可以用LERP或SLERP进行旋转插值，存储小。
  • SQT变换：包括缩放因子，四元数和平移矢量，容易插值，插值时平移矢量和缩放因子使用LERP，四元数使用LERP或SLERP。
  • 对偶四元数：可以表示为两个普通四元数之和，所以有8个元素，分为非偶部和对偶部，q^=qA+εqB,ε2=0,ε≠0\hat{\mathbf{q}}=\mathbf{q}_A+\varepsilon\mathbf{q}_B,\varepsilon^2=0,\varepsilon\neq0
  1. 其他数学对象
  • 直线、光线和线段，沿直线方向的矢量参数方程表示
  • 球体：中心点坐标和半径四个参数表示
  • 平面：参数方程。
  • 轴对齐包围盒（AABB）.
  • 定向包围盒（OBB）。
  • 平截头体。
  • 凸多面体区域。
  1. SIMD计算
  • 不要把FPU寄存器和SSE寄存器混用传输数据，会导致CPU流水线停顿性能下降。数学库尽可能把数据保存到SSE寄存器。
  • __m128数据类型，置于SSE寄存器中，用于SIMD计算。
    • gcc用vector float：
      1
      vector float v = (vector float) {1.0f, 2.0f, 3.0f, 4.0f};
    • Visual Studio用_mm_set_ps初始化：
      1
      __m128 v = _mm_set_ps(1.0f, 2.0f, 3.0f, 4.0f);
  • 注意__m128数据类型需要16字节内存对齐。
  • SSE内部函数的编码：
    • cpp需要#include <xmmintrin.h>
    • 例如addps可以有内联汇编和内部代码两种实现：
      • 内联汇编代码：
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      __m128 addWithAssembly(const __m128 a, const __m128 b)
      {
          // 不需要return， a和b分别存储在xmm0和xmm1寄存器中
          __asm addps xmm0, xmm1
      }
      • 内部函数代码：
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      4
      __m128 addWithIntrinsics(const __m128 a, const __m128 b)
      {
          return _mm_add_ps(a, b);
      }
    • 内联汇编需要依靠编译器的约定知识，编写函数困难，而且编译器不能做出任何假设，限制编译器的优化能力，最后的代码不可移植，内部函数直观清晰可移植，方便编译器优化代码。所以尽量使用内部函数。
    • float数组载入__m128变量要用__declspec(align(16))对齐，否则可能程序崩溃或性能降低。为了加强理解，可以做一下书上的198-199页的例子，另外书本还给了SSE实现矢量和矩阵相乘的例子，可以复现一下。
  1. 随机数
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